时间：2021年6月28日 9:00-11:00

Time：9:00-11:00, June 28, 2021

地点：西湖大学云栖校区4号楼409-411教室

Venue: Room 409-411, Building 4, Yunqi Campus, Westlake University

主持人：西湖大学理学院 赵永强 博士

Host: Dr. Yongqiang Zhao, School of Science, Westlake University

主讲嘉宾/Speaker：Prof. Ying Zhang, Soochow University

讲座主题/Title：最对称双曲环面上的闭测地线的长度

摘要/Abstract:

我们讨论与最对称的双曲单孔环面上的闭测地线的长度相关的一些问题。

设T是一个双曲单孔环面(简称为双曲环面)。这里的“孔”可以是开口(设边界测地线的长度为λ>0)、尖点、或锥点(设锥角为θ, 满足0<θ<2π). 任取该双曲结构的和乐表示的提升，使之成为曲面的基本群到SL(2,R)的表示，可知围绕孔的简单闭曲线所对应的矩阵的迹为

τ = -2cosh(λ/2), -2, 或 -2cosh(θ/2).

记 μ=τ+2, 则有 μ<4. 可以选择和乐表示的提升，使得T上每条非边界的简单闭测地线(长度为L>0)的迹都是正的，从而等于2cosh(L/2) > 2. 选定T上三条简单闭测地线，它们两两相交一次；设它们的迹分别为 x>2, y>2, z>2; 则 x, y, z 满足所谓几何Markoff方程

x² +y² +z² –xyz = μ.

而T上每条闭测地线的迹是x, y, z的多项式。

具有固定边界的所有双曲环面构成相对Teichmüller空间Teich_1,1(μ), 即

Teich_1,1(μ) = { (x, y, z) | x>2, y>2, z>2, x² +y² +z² –xyz = μ }.

则最对称的双曲环面T对应于参数组 (2+x, 2+x, 2+x), 其中x>0. 设在T的和乐表示的适当提升之下，选定的三条两两相交一次的简单闭测地线的SL(2,R)矩阵分别为A, B, A^-1B, 它们的迹都等于2+x. 设T上一条允许重复多圈的简单闭测地线所对应的正字W_{m, n} 由n个A和m个B组成(不妨要求m≤n)，迹为M(m, n)。

在与李祥飞的合作工作中，我们证明了：

(一) 用A, B写出的任何正字的迹，作为x的多项式，其系数都是正的 (我们猜测其系数序列具有对数凹性）。

(二) 设 W 是由用A, B写出的正字，由n个A和m个B组成(其中m≤n)，而且W既不是简单闭曲线的字，也不是闭曲线Aⁿ B^m的字; 则对于x≥1, 如下迹不等式成立：

tr(W_{m, n}) < tr(W)< tr(Aⁿ B^m).

(三) 对于x≥1, 迹 M(m, n) 具有如下的单调性(其中m≤n)：

① M(m-1, n) < (1+x) M(m, n);

② M(m, n) < (1+x) M(m, n+1);

③ M(m-1, n+1) > M(m, n).

在x=1的情形下，这给出Martin Aigner在他的书Markov’s Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture (Springer, 2013)中所猜测的经典Markoff数的单调性。

我们还提出了更多猜测，包括如下猜测的凸性不等式(对于x≥1)：

 M(m-2, n+2) + M(m, n) > 2 M(m-1, n+1).

讲座联系人/Contact:

理学院 王老师  wangqiuhui@westlake.edu.cn